Compuertas Lógicas - Álgebra Booleana

Álgebra Booleana 

Publicado por: Diego Valdez Martínez

Es una rama especial del álgebra que se usa principalmente en electrónica digital. El álgebra booleana fue inventada en el año 1854 por el matemático inglés George Boole.

El álgebra de Boole es un método para simplificar los circuitos lógicos (o a veces llamados circuitos de conmutación lógica) en electrónica digital.

Por lo tanto, también se llama como "Cambio de álgebra". Podemos representar el funcionamiento de los circuitos lógicos utilizando números, siguiendo algunas reglas, que son bien conocidas como "Leyes del álgebra de Boole".

También podemos hacer los cálculos y las operaciones lógicas de los circuitos aún más rápido siguiendo algunos teoremas, que se conocen como "Teoremas del álgebra de Boole". Una función booleana es una función que representa la relación entre la entrada y la salida de un circuito lógico.

La lógica booleana solo permite dos estados del circuito, como True y False. Estos dos estados están representados por 1 y 0, donde 1 representa el estado "Verdadero" y 0 representa el estado "Falso".

Leyes de Álgebra Booleana

• Leyes Conmutativas

 El orden en que se aplica a las variables la operación OR es indiferente:

 Ley conmutativa de la suma para dos variables

        A+B = B+A     

El orden en que se aplica a las variables la operación AND es indiferente:
Ley conmutativa de la multiplicación para dos variables

           AB = BA

• Leyes Asociativas

Al aplicar la operación OR a más de dos variables, el resultado es el mismo independientemente de la forma en que se agrupen las variables:
Ley asociativa de la suma para tres variables
     A + (B + C) = (A + B) + C

 
Al aplicar la operación AND a más de dos variables, el resultado es el mismo independientemente de la forma en que se agrupen las variables:
Ley asociativa de la multiplicación para tres variables

     A(BC) = (AB)C

• Ley Distributiva

Aplicar la operación OR a dos o más variables y luego aplicar la operación AND al resultado de la operación y  a otra variable aislada, es equivalente a aplicar la operación AND a la variable aislada con cada uno de los  sumandos y luego aplicar la operación OR a los productos resultantes.  Esta ley también expresa el proceso de sacar factor común, en el que la variable común se saca como factor  de los productos parciales 

Ley distributiva para tres variables 

         A (B + C) = AB + AC

Compuertas Logicas

Las puertas o compuertas lógicas básicas son: La puerta AND, la puerta OR y la puerta NOT. 

A continuación se presenta su símbolo, la tabla de verdad que nos dice la salida dependiendo de la combinación de las entradas y su ecuación lógica. 

• La puerta AND (Puerta Y) solo tiene una salida =1 o nivel alto si fuera un voltaje si ambas entradas son 1. 

• La puerta OR (puerta O) tiene una salida =1 si cualquiera o ambas de las entradas es 1. 

• La puerta NOT o Inversor niega la entrada, esto es, si la entrada es 0 la salida es 1 y si es 1 la salida es 0.

• La puerta NAND esta compuerta trabaja al contrario de una AND ya que al no tener entradas en 1 o solamente alguna de ellas, esta concede un 1 en su salida, pero si esta tiene todas sus entradas en 1 la salida se presenta con un 0.

• La puerta NOR la compuerta OR también tiene su versión inversa. Esta compuerta cuando tiene sus entradas en estado 0 su salida estará en 1, pero si alguna de sus entradas pasa a un estado 1 sin importar en qué posición, su salida será un estado 0.

• La puerta XOR también llamada OR exclusiva, esta actúa como una suma binaria de un digito cada uno y el resultado de la suma seria la salida. Otra manera de verlo es que con valores de entrada igual el estado de salida es 0 y con valores de entrada diferente, la salida será 1.

Tablas de la verdad: Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor        de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se   pueda asignar. Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.

La tabla de los "valores de verdad", es usada en el ámbito de la lógica, para obtener la verdad (V) o falsedad (F), valores de verdad, de una expresión o de una proposición. Además sirven para determinar si es que un determinado esquema de inferencia es formalmente válido como un argumento, llegando a la conclusión de que este es una tautología (se habla de una tautología cuando todos los valores de la tabla mencionada son "V" o sea verdadero).

Para establecer un Sistema formal se establecen las definiciones de los operadores. Las definiciones se harán en función del fin que se pretenda al construir el sistema que haga posible la formalización de argumentos:

·         Como razonamientos deductivos lógico-lingüísticos

·         Como construcción de un sistema matemático puro

·         Como una aplicación lógica en un Circuito de conmutación.

• Verdadero: El valor verdadero se representa con la letra V; si se emplea notación numérica se expresa con un uno: 1; en un circuito eléctrico, el circuito está cerrado.

• Falso: El valor falso se representa con la letra F; si se emplea notación numérica se expresa con un cero: 0; en un circuito eléctrico, el circuito está abierto.

• Variable: Para una variable lógica A, B, C,... que pueden ser verdaderas V, o falsas F, los operadores fundamentales se definen así:

• Negación: La negación es un operador que se ejecuta, sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.

• Conjunción: La conjunción es un operador que actúa sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas.

• Las Disyunción: La disyunción es un operador que actúa sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.

• Implicación o Condicional: El condicional material es un operador que actúa sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.

• Equivalencia, doble implicación o Bicondicional: El bicondicional o doble implicación es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad son diferentes.

Mapa de Karnaugh

Los Mapas de Karnaugh son una herramienta muy utilizada para la simplificación de circuitos lógicos. Cuando se tiene una función lógica con su tabla de verdad y se desea implementar esa función de la manera más económica posible se utiliza este método.
El mapa de Karnaugh es una herramienta muy útil para la simplificación y minimización de expresiones algebraicas Booleanas. Es similar a una tabla de verdad, ya que muestra todos los posibles valores de las variables de entrada y la salida resultante para cada valor.
Es una secuencia de celdas en la que cada celda representa un valor binario de las variables de entrada. El número de celdas de un mapa de Karnaugh es igual al número total de combinaciones de las variables de entrada, al igual que el número de filas para una tabla de verdad, es decir, si un mapa tiene 3 variables, (2) elevado a la 3 = 8.
Las celdas del mapa K se marcan de modo que las celdas horizontalmente y verticalmente adyacentes, solo difieran en una variable.
Vamos a definir algunos términos que nos son de mucha utilidad al momento de analizar los mapas K:

• Implicante: Un grupo de unos ó ceros adyacentes que implican a una variable en cuestión, agrupados en potencias de a dos.
• Adyacencia: Característica de un mapa K en el que sólo se cambia una variable de una celda a otra inmediata a ella por cualquiera de sus cuatro lados.

Mapa de Karnaugh de dos variables

El mapa de Karnaugh de dos variables es un conjunto de cuatro celdas.La siguiente figura nos muestra la tabla de verdad y el mapa K para una función escogida arbitrariamente de dos variables.

Mapa de Karnaugh de tres variables
El mapa de Karnaugh de tres variables es un conjunto de ocho celdas.La siguiente figura nos muestra la tabla de verdad y el mapa K para una funcíon escogida arbitrariamente de tres variables.

Aplicación de las compuertas lógicas

En el siguiente video se mostrara la aplicacion de las compuertas logicas en la electronica digital, mapas de karnaugh y las tablas de verdad.
Estas nos ayudaran para la creacion de un circuito electronico que se le sera aplicado a un semaforo.

Este ejemplo nos facilitara el uso de las tablas de verdad y los mapas de karnaugh, para asi entender mejor estas herramientas y poderlas aplicar en los circuitos que crearemos.